Math'φsics

Menu
  • Acceuil
  • Maths
  • Physique
    • Maths
    • Physique
  • Compact - Compacité

    Formulaire de report



    Définition


    Topologie


    Espace compact

    Définition d'un espace compact :
    • soit \((E,\tau)\) un espace topologique
    • \(E\) est séparé
    • de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini (propriété de Borel-Lebesgue)

    $$\Huge\iff$$
    • on dit que \(E\) est compact
    (Séparation, Recouvrement)
    Remarque :
    On peut aussi énoncer la compacité avec des fermés

    Sous-ensemble compact

    Définition d'un sous-ensemble compact :
    • soit \((E,\tau)\) un espace topologique
    • soit \(K\subset E\)
    • \(K\) est compact pour la topologie induite

    $$\Huge\iff$$
    • on dit que \(K\) est compact
    (Topologie induite)

    Analyse réelle

    Définition :
    On dit que \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\) si pour toute suite \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\), \(x_n\in K\), alors $$\exists x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K$$
    START
    Théorème
    Définition
    Hypothèses:
    • \(K\) est un ensemble
    • pour toute suite \((x_n)_{n\in\Bbb N}\), avec \(\forall n, x_n\in K\), on a : $$\exists x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K$$ (pour toute suite d'éléments de \(K\), il existe une sous-suite de cette suite qui converge vers un élément de \(K\))

    Résultats:
    • \(K\) est un compact

    Equivalence?:
    END
    (Ensemble des nombres réels, Suite réelle, Théorème de Bolzano-Weierstrass - Critère de Bolzano-Weierstrass)

    Exemples

    Exemple :
    Un ensemble fini et séparé est compact

    Caractérisation

    Un compact de \({\Bbb R}\) est toujours borné et fermé
    (Ensemble borné, Fermé)
    Montrer qu'un compact de \({\Bbb R}\) est toujours borné

    On raisonne par contraposée : $$\text{non borné }\implies\text{ non compact}$$

    \(K\) non bornée
    Si \(K\) est non bornée, alors $$\forall n\in{\Bbb N},\exists u_n\in K,\quad\lvert u_n\rvert\geqslant n$$

    \(K\) compact
    Si \(K\) est compact, alors il existe \(\varphi\) tel que : $$u_{\varphi(n)}\longrightarrow\ell\in K$$

    Comparaison et faire tendre la suite vers l'infini : \(n\) n'est pas réel : contradiction donc \(K\) n'est pas compact

    Or on a $$\lvert u_{\varphi(n)}\rvert\geqslant\varphi(n)\geqslant n$$ et donc, quand \(n\to+\infty\) : $$\lvert\ell\rvert\longrightarrow+\infty$$
    Ce qui est exclu, donc \(K\) n'est pas compact

    Tout ensemble fermé et borné \(\subset{\Bbb R}\) est un compact de \({\Bbb R}\)
    (Ensemble borné, Fermé)
    Caractérisation dans \({\Bbb R}\) :
    • \(E\subset{\Bbb R}\)
    • \(E\) est fermé
    • \(E\) est borné

    $$\Huge\iff$$
    • \(E\) est un compact de \({\Bbb R}\)

    Caractérisation d'un sous-ensemble compact :
    • soit \((E,\tau)\) un espace topologique
    • soit \(K\subset E\)
    • \(K\) est séparé
    • de tout recouvrement ouvert de \(K\) pour la topologie de \(E\), on peut extraire un sous-recouvrement fini

    $$\Huge\iff$$
    • \(K\) est compact
    Proposition :
    Tout sous-espace fermé d'un espace compact est compact

    Propriétés


    Stabilité par une fonction continue

    Théorème :
    L'image d'un compact par une application continue est un compact
    (Image, Continuité, \(\to\)Théorème des valeurs extrêmes)

    Adhérence

    Si \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\), alors \(\overline K={{K}}\)
    (Adhérence)

    Bornes

    Soit \(K\) un compact de \({\Bbb R}\)
    Si \(f:K\to{\Bbb R}\) est continue, alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes
    (Continuité, Fonction bornée)
    Montrer que, si \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\) et si \(f:K\to{\Bbb R}\) est continue, alors \(f\) est bornée

    Initialisation du raisonnement par l'absurde
    Supposons que \(f\) n'est pas bornée : $$\forall n\in{\Bbb N},\exists x_n\in K,\quad\lvert f(x_n)\rvert\geqslant n$$

    \(K\) est un compact
    Puisque \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\), alors on a $$x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K\quad\text{ et }\quad\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert\geqslant\varphi(n)\geqslant n$$

    Contradiction avec plusieurs limites de \(f\)

    D'une part, vu que \(f\) est continue, $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert=\lvert f(x)\rvert$$
    D'autre part, puisque \(\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert\geqslant n\), on a : $$\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert\longrightarrow+\infty$$
    Il y a une contradiction, donc \(f\) est bornée


    Caractérisation par les fermés

    Caractérisation des compacts par les fermés :
    • soit \((E,\tau)\) un espace séparé
    • toute famille de fermés dont les intersections finies sont toutes non vides a une intersection non vide

    $$\Huge\iff$$
    • \(E\) est compact
    Corollaire :
    Dans un compact, toute intersection \(\downarrow\) de fermés non vides est non vide
    Proposition :
    Un sous-ensemble compact d'un espace séparé est fermé

    Intersection et union

    Proposition :
    Dans un espace séparé, une intersection ou union finie de compacts est un compact

    Produit

    Théorème de Tychonov

    Liens avec la continuité

    Lien entre compacité et continuité :
    • soient \(E,F\) deux espaces topologiques
    • \(F\) est séparé
    • soit \(f:E\to F\) continue
    • soit \(K\subset E\) compact

    $$\Huge\iff$$
    • \(f(K)\) est un compact
    Théorème de Weierstrass
    Lien entre compacité et fonction fermée :
    • soient \(E,F\) des espaces topologiques
    • \(F\) est séparé
    • soit \(f:E\to F\) continue
    • \(E\) est compact $$f:\text{compact}\overset{\text{cont}}{\longrightarrow}\text{séparé}$$

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est fermée (l'img de tout fermé est un fermé)

    Lien entre compacité et homéomorhisme :
    • soient \(E,F\) des espaces topologiques
    • \(F\) est séparé
    • soit \(f:E\to F\) continue
    • \(E\) est compact
    • \(f\) est bijective $$f:\text{compact}\underset{\text{cont}}{\overset{\text{bij}}\longleftrightarrow}\text{séparé}$$

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est un homéomorphisme
    (Continuité, Séparation, Homéomorphisme)
    Théorème de Heine

    Lien avec la complétude

    Proposition :
    Dans un espace métrique compact, toute suite qui n'admet qu'une seule valeur d'adhérence converge
    (Valeur d'adhérence)
    Corollaire :
    Tout espace métrique compact est complet
    (Espace métrique, Complétude - Espace complet)

    Caractérisation par les valeurs d'adhérence

    Théorème de Bolzano-Weierstrass - Critère de Bolzano-Weierstrass

    Dans un espace métrique

    Proposition :
    Dans un espace métrique, les compacts sont toujours fermés et bornés
    Théorème de Heine-Borel

    Exercices

    L'ensemble suivant est-il compact ? $$A=\left\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\;\middle|\;\frac12\leqslant\lVert(x,y)\rVert\leqslant2\text{ et }xy=1\right\}$$

    Fermé et borné

    L'ensemble est fermé (défini par des \(\leqslant\) et \(=\)) et borné par \(2\), il est donc compact

    En norme euclidienne, l'ensemble suivant est-il compact ? $$B=\left\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\;\middle|\;\frac12\lt \lVert(x,y)\rVert\leqslant2\text{ et }xy=1\right\}$$

    Montrer que la condition \(\lt \) est inutile par disjonction des cas sur \(\lvert x\rvert\)
    On a : $$B=\left\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\;\middle|\;\lVert(x,y)\rVert\leqslant2\text{ et }xy=1\right\}$$
    En effet, montrons que, si \((x,y)\in B(0,2)\cap\{(\alpha,\beta)\mid\alpha\beta=1\}\), alors \((x,y)\notin B(0,\frac12)\)

    • si \(\lvert x\rvert\geqslant1\), alors \(\sqrt{x^2+y^2}\geqslant\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\geqslant1\)
    • si \(0\lt \lvert x\rvert\leqslant1\), alors \(\frac1{\lvert x\rvert}\geqslant1\) donc \(\sqrt{x^2+y^2}\geqslant\sqrt{\frac1{x^2}}\geqslant1\)

    Donc l'ensemble est bien fermé et borné, c'est donc bien un compact

  • Rétroliens :
    • Compacité relative - Ensemble relativement compact
    • Espace des fonctions continues à support compact
    • Espace localement compact
    • Espace précompact
    • Mesure de Radon
    • Produit dénombrable d'espaces métriques
    • Théorème d'explosion - Théorème des bouts - Théorème de sortie de tout compact
    • Théorème de Bolzano-Weierstrass - Critère de Bolzano-Weierstrass
    • Théorème de Heine-Borel
    • Théorème de Heine
    • Théorème de Riesz
    • Théorème de Tychonov
    • Théorème des valeurs extrêmes
    • Valeur d'adhérence